Question

5．若存在x∈[2，3]，使不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 由已知得a≥2^x-$\frac{1}{x}$，令y=2^x-$\frac{1}{x}$，由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得y=2^x-$\frac{1}{x}$，在[2，3]上是增函數(shù)，由此能求出實(shí)數(shù)a的最小值．

解答 解：∵存在x∈[2，3]，使不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1成立，
∴1+ax≥x•2^x，即a≥2^x-$\frac{1}{x}$，
令y=2^x-$\frac{1}{x}$，
則y′=2^xln2+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴y=2^x-$\frac{1}{x}$，在[2，3]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值，y_min=2²-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴a≥$\frac{7}{2}$，即實(shí)數(shù)a的最小值為$\frac{7}{2}$．
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．