Question

15．三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=2，PA⊥PB，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為12π．

Answer 1

分析 證明PA⊥PC，PB⊥PC，以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖，則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．算出長方體的對角線即為球直徑，結(jié)合球的表面積公式，可算出三棱錐P-ABC外接球的表面積．

解答 解：∵三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB=PC=2，
∴△PAB≌△PAC≌△PBC．
∵PA⊥PB，
∴PA⊥PC，PB⊥PC．
以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長方體如圖：
則長方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC外接球．
∵長方體的對角線長為$\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$，
∴球直徑為2$\sqrt{3}$，半徑R=$\sqrt{3}$，
因此，三棱錐P-ABC外接球的表面積是4πR²=4π×$（\sqrt{3}）^{2}$=12π．
故答案為：12π．

點(diǎn)評 本題考查了長方體對角線公式和球的表面積計算等知識，屬于基礎(chǔ)題．