Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)， ，；

（1）設(shè)，若在定義域內(nèi)存在極值，求的取值范圍；

（2）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若，，

，求證： ．

Answer 1

（1）a＞2；（2）見解析

【解析】

試題解析：（1） h（x）定義域為（0，＋∞）．

２分

令,其判別式．

①當(dāng)|a|≤2時，，h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增．無極值點．

②當(dāng)a ＜-2時，，m（x）＝0的兩根都小于0 ,在（0，＋∞）上，h′（x）＞0，

故h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增．無極值點．

③當(dāng)a＞2時, Δ＞0，m（x）＝0的兩根 ，

當(dāng) 時，h′（x）＞0，當(dāng) 時，h′（x）＜0，時，h′（x）＞0 5分

故h（x）分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以存在兩個極值點，

所以a＞2 ． 6分

另解：， 1分

要使h（x）在定義域 （0，＋∞）存在極值，即方程在（0，＋∞）有2個根，

令，則方程在（0，＋∞）有2個根等價于

4 分

，所以存在兩個極值點．

所以a＞2． 6 分

（2）由（1）知，所以，

，，

由 ，

所以?，即 8 分

所以要證，只要證，

，只要證 ，只要證 10分

令，只要證2（s－1）＜（1＋s）lns，s＞1．

設(shè)r（s）＝（1＋s）lns－2（s－1）， ，，

所以在（1，＋）上為增函數(shù)，，所以 ，所以r（s）在（1，＋）遞增，r（1）＝0，

所以r（s）＞0，即（1＋s）lns－2（s－1）＞0，結(jié)論得證．

考點：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用．