Question

已知圓O：和定點(diǎn)A(2,1)，由圓O外一點(diǎn)向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足

(1) 求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；

(2) 若以P為圓心所作的圓P與圓O有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)圓P的方程．

 

Answer 1

【答案】

(1)；(2) 。

【解析】

試題分析：（1）連為切點(diǎn)，，由勾股定理有

.

又由已知，故

即：.

化簡(jiǎn)得：.  

（2）設(shè)圓 的半徑為，

 圓與圓O有公共點(diǎn)，且半徑最小，

，

故當(dāng)時(shí)，

此時(shí), ，.

得半徑取最小值時(shí)圓的方程為．

另解： 圓與圓O有公共點(diǎn)，圓半徑最小時(shí)為與圓O外切的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去，圓心為過(guò)原點(diǎn)與垂直的直線 與的交點(diǎn).

 = －1 = －1.

又 ：x－2y = 0,

解方程組，得.即 ( ,).

∴ 所求圓方程為.   

考點(diǎn)：圓的方程；兩點(diǎn)間的距離公式；直線與圓的綜合應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點(diǎn)間的距離公式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．