Question

下列說法：
（1）命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；
（2）關(guān)于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，則a的取值范圍是a＜3；
（3）對于函數(shù)f(x)=

ax

1+|x|

(a∈R且a≠0)，則有當(dāng)a=1時，?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點；
（4）

∫

1 0

1-x2

dx≤

∫

e 1

1

x

dx；
（5）已知m，n，s，t∈R+，m+2n=5，

m

s

+

n

t

=9，n＞m，且m，n是常數(shù)，又s+2t的最小值是1，則m+3n=7．
其中正確的個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用,命題的否定,定積分

專題：計算題,簡易邏輯

分析：利用特稱命題的真假判斷（1）的正誤；通過函數(shù)的最值求出a的范圍判斷（2）的正誤；利用函數(shù)的零點集合函數(shù)的圖象判斷（3）的正誤；利用定積分求出結(jié)果判斷（4）的正誤；根據(jù)s+2t的最小值是 1，根據(jù)均值不等式求得的最下值，進而求得此時的m+3n的值即可判斷正誤；

解答： 解：對于（1），命題“?x∈R，2^x≤0”的否定是“?x∈R，2^x＞0”；滿足命題的否定形式，∴（1）正確；
對于（2），關(guān)于x的不等式a＜sin2x+

2

sin2x

恒成立，可得a小于sin2x+

2

sin2x

的最小值，sin2x+

1

sin2x

+

1

sin2x

≥2

sin2x• 1 sin2x

+

1

sin2x

=2+

1

sin2x

≥3，當(dāng)且僅當(dāng)sin²x=1時取得最大值，∴（2）正確；
對于（3），∵g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函數(shù)g（x）的一個零點；
當(dāng)x＞0時，若?k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點，則方程

x

1+x

-kx=0必有解，此方程化為kx=1-k，
∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程無解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（0，+∞）上有零點；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函數(shù)g（x）=f（x）-kx在區(qū)間（-∞，0）上有零點，故（3）不正確；
對于（4），

∫

1 0

1-x2

dx，由定積分的幾何意義可得：

∫

1 0

1-x2

dx=

π

4

；

∫

e 1

1

x

dx=lnx

|

e 1

=1，
∴

∫

1 0

1-x2

dx≤

∫

e 1

1

x

dx，正確；
對于（5），∵(s+2t)(

m

s

+

n

t

)=m+2n+

2tm

s

+

sn

t

≥m+2n+2

2tm s • sn t

=m+2n+2

2mn

，（2t²m=s²n時取等號）∴m+2n+2

2mn

=9，
∴mn=2，得m=1，n=2得點m+3n=7．∴（5）正確；
正確命題的個數(shù)是4個．
故答案為：4．

點評：本題考查命題的真假的判斷，定積分以及函數(shù)的零點、基本不等式、命題的否定，庫存基本知識的應(yīng)用．