Question

（Ⅰ）求證：

3

+

7

＜2

5

（Ⅱ）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證：

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一個(gè)小于2．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：不等式

分析：（Ⅰ）利用了分析法，和兩邊平方法，
（Ⅱ）利用了反證法，假設(shè)：

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，則

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，推得即a+b≤2，這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立．

解答： （Ⅰ）證明：因?yàn)?span id="kkyocti" class="MathJye">

3

+

7

和2

5

都是正數(shù)，所以為了證明

3

+

7

＜2

5

，
只要證 （

3

+

7

）²＜（2

5

）²
只需證：10+2

21

＜20，
即證：2

21

＜10，
即證：

21

＜5，
即證：21＜25，
因?yàn)?1＜25顯然成立，所以原不等式成立．
（Ⅱ）證明：假設(shè)：

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，則

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+b+1+a≥2（a+b）
即 a+b≤2
這與已知a+b＞2矛盾，故假設(shè)不成立，從而原結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了推理論證的兩種方法分析法和反證法，屬于中檔題．