Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sin（ωx+

π

4

）•cos（ωx+

π

4

）-sin（2ωx+π）（ω＞0），且函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值，并指出此時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為f（x）=2sin（2ωx+

π

3

），再根據(jù)的最小正周期為π，求得ω的值，可得f（x）的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得函數(shù)g（x）=2sin（2ωx-

π

3

），再由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得g（x）的最大值和最小值，并指出此時(shí)x的值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2

3

sin（ωx+

π

4

）•cos（ωx+

π

4

）-sin（2ωx+π）
=

3

sin（2ωx+

π

2

）+sin2ωx=

3

cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+

π

3

）的最小正周期為π，
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2ωx+

π

3

）．
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]=2sin（2ωx-

π

3

）的圖象，
由x∈[0，

π

2

]，可得2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
故當(dāng)2x-

π

3

=-

π

3

，即當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值為-

3

；
當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

，即當(dāng)x=

5π

12

時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值為 2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．