Question

10．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸被圓x²+y²=b²與x軸的兩個交點三等分，則橢圓的離心率是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出橢圓的長軸長是短軸長的3倍，再利用a，b，c的關(guān)系建立等式求得a和c的關(guān)系，則橢圓的離心率可得．

解答 解：由題意方程可得長軸長為2a，兩焦點間的距離2c，
∵橢圓的長軸被半徑為b的圓與x軸的兩個交點三等分，
∴a=3b，又a²=b²+c²，∴c²=8b²，
∴則橢圓的離心率是：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}b}{3b}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．求橢圓的離心率問題，通常有兩種處理方法，一是求a，求c，再求比；二是列含a和c的齊次方程，再化含e的方程，解方程即可．