Question

5．已知圓C：x²+y²-4x-14y+45=0，及點(diǎn)Q（-2，3）．
（1）P（a，a+1）在圓上，求直線PQ的斜率；
（2）若M為圓C上任一點(diǎn)，求|MQ|的最大值和最小值；
（3）求$\frac{y-3}{x+2}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)代入，即可求出a的值，再根據(jù)斜率公式計(jì)算即可；
（2）求出圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圖形即可求出最值；
（3）$\frac{y-3}{x+2}$的幾何意義是圓上一點(diǎn)M（x，y）與A（-2，3）連線的斜率，則當(dāng)直線kx-y-2k+3=0與圓C相切時(shí)有最值．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（a，a+1）在圓上，
∴a²+（a+1）²-4a-14（a+1）+45=0，
∴a=4，P（4，5），
∴K_PQ=$\frac{3-5}{-2-4}=\frac{1}{3}$，
（2）∵圓心坐標(biāo)C為（2，7），$r=2\sqrt{2}$
∴$|QC|=\sqrt{{{（2+2）}^2}+{{（7-3）}^2}}=4\sqrt{2}$，
∴$|MQ{|_{max}}=4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$，
$|MQ|min=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$．
（3）設(shè)點(diǎn)（-2，3）的直線l的方程為：y-3=k（x+2），即kx-y-2k+3=0，
易知直線l與圓方程相切時(shí)，k有最值，
∴$\frac{|-2k-7-2k+3|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2\sqrt{2}$，
∴$k=-2±\sqrt{3}$
∴$k=\frac{y-3}{x+2}$的最大值為$-2+\sqrt{3}$，最小值為$-2-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)在圓外時(shí)d-r≤|MQ|≤d+r，從而求最值，直線與圓相切時(shí)有最值，屬于中檔題．