Question

【題目】如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6，求證：平面PBD⊥平面PAC.

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】試題分析：先由平面可證明 ，由直角三角形的性質(zhì)可得 ，再由線面垂直的判定定理可得平面 ，利用面面垂直的判定定理可得結(jié)果.

試題解析：∵PA⊥平面ABCD，

BD平面ABCD，∴BD⊥PA.

又tan∠ABD＝＝. tan∠BAC＝＝.

∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，

∴∠AED＝90°，即BD⊥AC.

又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

∵BD平面PBD.

所以平面PBD⊥平面PAC.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；要證明面面垂直只需證明線面垂直，證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面.