Question

【題目】已知多面體中，，，，，為的中點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求異面直線和所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)取CE中點(diǎn)F，連接BF，OF，由幾何關(guān)系可證得四邊形ABFO為平行四邊形，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理可得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)取DE中點(diǎn)M，連接AF，由題意可證得ABEM為平行四邊形，從而∠CAM或其補(bǔ)角為AC與BE所成的角.求得三角形的邊長(zhǎng)，利用余弦定理可得異面直線AC和BE所成角的余弦值.

(Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論可知∠DBF就是直線BD與平面BEC所成角，利用邊長(zhǎng)的比值關(guān)系可得與平面所成角的正弦值.

(Ⅰ)取CE中點(diǎn)F，連接BF，OF，

∵O為CD的中點(diǎn)，

∴OF∥DE，且OF=DE，

∵AB//DE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，

∴OF∥AB，OF=AB，

則四邊形ABFO為平行四邊形，

∴AO//BF，BF平面BCE，AO平面BCE，

∴AO//平面BCE；

(Ⅱ)取DE中點(diǎn)M，連接AF，

∵AB∥DE，AB=1，DE=2，

∴AB∥ME，AB=ME ，

∴ABEM為平行四邊形.

∴AM//BE.

∴∠CAM或其補(bǔ)角為AC與BE所成的角.

∵DE⊥平面ACD，AD，CD平面ACD，

∴DE⊥CD，DE⊥AD，

在中，CD=2，DM=1，，

在中，AD=2，DM=1，，

.

所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.

(Ⅲ)由題意可得BF//AO，

∵AO⊥平面CDE，∴BF⊥平面CDE，∴BF⊥DF.

∵CD=DE，∴DF⊥CE，

∵BF∩CE=F，∴DF⊥平面CBE；

∴∠DBF就是直線BD與平面BEC所成角.

在△BDF中，，

.