Question

稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：

①；②.

（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項公式；

（2）若一個等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；

（3）記n階“期待數(shù)列”的前k項和為：

（i）求證：；

（ii）若存在使，試問數(shù)列能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.

Answer 1

（1）①若，由①得，，得，矛盾．-----------1分

若，則由①=0，得，-------------3分

由②得或．

所以，．?dāng)?shù)列的通項公式是

或------------------------------------4分

記數(shù)列的前項和為，

則由（i）知，，

，而，

，從而，，

又，

則，-------------------------16分

，

與不能同時成立，

所以，對于有窮數(shù)列，若存在使，則數(shù)列的和數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”． ----------------------18分