Question

9．對于函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（a∈R，a＞0，且a≠1）．
（1）先判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，再證明之；
（2）實數(shù)a=1時，證明函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)；
（3）求使f（x）=m，（x∈[0，1]）有解的實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）容易判斷f（x）在R上為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）a=1時，通分得到f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，可以得出f（-x）=-f（x），從而得出f（x）為奇函數(shù)；
（3）根據(jù)（1）f（x）在R上單調(diào)遞增，從而可以求出f（x）在[0，1]上的值域，從而便可得到m的取值范圍．

解答 解：（1）x增大時，2^x增大，∴f（x）增大，∴函數(shù)f（x）在定義域R上為增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
${2^{x_1}}$＜${2^{x_2}}$，${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又${2^{x_1}}+1$＞0，${2^{x_2}}_{\;}+1$＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）證明：當(dāng)a=1時，f（x）=1-$\frac{2}{{{2^{{x_{\;}}}}+1}}$=$\frac{{{2^{{x_{\;}}}}-1}}{{{2^{{x_{\;}}}}+1}}$；
f（-x）=$\frac{{{2^{-{x_{\;}}}}-1}}{{{2^{-{x_{\;}}}}+1}}$=$\frac{{1-{2^{{x_{\;}}}}}}{{1+{2^{{x_{\;}}}}}}$=-f（x）；
∴a=1時f（x）為奇函數(shù)；
（3）由（1）知，f（x）在R上為增函數(shù)；
∵x∈[0，1]；
∴f（0）≤f（x）≤f（1）；
即$a-1≤f（x）≤a-\frac{2}{3}$；
∴$a-1≤m≤a-\frac{2}{3}$；
∴實數(shù)m的取值范圍為$[a-1，a-\frac{2}{3}]$．

點評 考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義判斷和證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，以及奇函數(shù)的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義求函數(shù)的值域．