【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為且滿足

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若求正整數(shù)的值；

（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列的一項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）（2）（3）存在兩個(gè)正整數(shù)；1或2

【解析】

（1）設(shè)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，運(yùn)用通項(xiàng)公式，解方程可得，，即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，運(yùn)用通項(xiàng)公式，解方程可得的值；（3）求得，，若為數(shù)列中的一項(xiàng)，整理化簡(jiǎn)求得，的值，再由數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得到結(jié)論．

（1）設(shè)的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為則

由已知，得

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：

（2）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，由得

由于而僅在時(shí)為正整數(shù)，與為奇數(shù)矛盾！

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，由得

綜上，得

（3）由（1）可求得

若為數(shù)列中的一項(xiàng)，則（為正奇數(shù)）或（為正偶數(shù)）

（i）若（為正奇數(shù)），則

當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；

當(dāng)時(shí)，由得解得

由于為正奇數(shù)，故此時(shí)滿足條件的正整數(shù)k不存在.

（ii）若（為正偶數(shù)），

顯然，則

由得得

由為正偶數(shù)得為正偶數(shù)，因此，從而

當(dāng)時(shí)，；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，顯然；

②假設(shè)當(dāng) 時(shí)，有 ；則當(dāng) 時(shí)，

由得，

故

即時(shí)，結(jié)論成立.

由①，②知：時(shí)，

綜合（i），（ii）得：存在兩個(gè)正整數(shù),1或2，使為數(shù)列中的項(xiàng).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求過(guò)切點(diǎn)為的切線方程；

（2）若在區(qū)間上的最大值為，求a的值；

（3）若不等式恒成立，求a的取值范圍.

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【題目】為響應(yīng)綠色出行，某市在推出“共享單車(chē)”后，又推出“新能源分時(shí)租賃汽車(chē)”．其中一款新能源分時(shí)租賃汽車(chē)，每次租車(chē)收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計(jì)費(fèi)；②行駛時(shí)間不超過(guò)分時(shí)，按元/分計(jì)費(fèi)；超過(guò)分時(shí)，超出部分按元/分計(jì)費(fèi)．已知王先生家離上班地點(diǎn)公里，每天租用該款汽車(chē)上、下班各一次．由于堵車(chē)、紅綠燈等因素，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間 (分)是一個(gè)隨機(jī)變量．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：

時(shí)間（分）

頻數(shù)

將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間視為用車(chē)時(shí)間，范圍為分．（1）寫(xiě)出王先生一次租車(chē)費(fèi)用（元）與用車(chē)時(shí)間（分）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若王先生一次開(kāi)車(chē)時(shí)間不超過(guò)分為“路段暢通”，設(shè)表示3次租用新能源分時(shí)租賃汽車(chē)中“路段暢通”的次數(shù)，求的分布列和期望.

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【題目】已知數(shù)列與滿足，.

(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)若,且數(shù)列是公比等于2的等比數(shù)列,求的值,使數(shù)列也是等比數(shù)列；

(3)若,且，數(shù)列有最大值與最小值,求的取值范圍.

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【題目】設(shè)點(diǎn)分別是棱長(zhǎng)為2的正方體的棱的中點(diǎn)．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

（1）求向量與的數(shù)量積；

（2）若點(diǎn)分別是線段與線段上的點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線，平面？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷(xiāo)售量萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等）與促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元滿足（其中，為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬(wàn)元（不含促銷(xiāo)費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為元件．

（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；

（2）促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大？

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（1）若直線y=kx+1上的點(diǎn)都在C（1，1）的外部，求k的取值范圍；

（2）若C（a，b）過(guò)點(diǎn)（2，1），圓x2+y2=r2（r＞0）在C（a，b）內(nèi)部及C（a，b）上的點(diǎn)構(gòu)成的圓弧長(zhǎng)等于該圓周長(zhǎng)的一半，求b、r滿足的關(guān)系式及r的取值范圍；

（3）若曲線|xy|=mx2+1（m＞0）上的點(diǎn)都在C（a，b）的外部，求m的取值范圍．

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【題目】

（本題滿分15分）已知m＞1，直線，

橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).

（Ⅰ）當(dāng)直線過(guò)右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，

的重心分別為.若原點(diǎn)在以線段

為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】高鐵是我國(guó)國(guó)家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國(guó)人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，在山頂A處測(cè)得這三點(diǎn)的俯角分別為、、，計(jì)劃沿直線BF開(kāi)通穿山隧道，現(xiàn)已測(cè)得BC、DE、EF三段線段的長(zhǎng)度分別為3、1、2.

（1）求出線段AE的長(zhǎng)度；

（2）求出隧道CD的長(zhǎng)度.

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