Question

設(shè)a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=4^x+|2^x-a|（x∈R）．
（1）求證：函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，求滿足f（x）＞a²的x的取值范圍；
（3）求函數(shù)y=f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域,指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由反證法，假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，即f（0）=0，得出f（0）=1+|1-a|≠0，矛盾，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，得到函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）把f（x）=4^x+|2^x-a|代入f（x）＞a²，結(jié)合2^x＞0，4^x＞0，轉(zhuǎn)化為2^x＞-（a+1）．然后對(duì)a+1≥0和a+1＜0分類討論求解實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）利用換元法，令t=2^x，然后對(duì)a≥0和a＜0分類討論，但a＞0時(shí)，寫(xiě)出分段函數(shù)，然后進(jìn)一步對(duì)a進(jìn)行分類討論求解函數(shù)的值域，最后對(duì)a分類說(shuō)明即可得到原函數(shù)的值域．

解答： （1）證明：假設(shè)f（x）是奇函數(shù)，那么對(duì)于一切x∈R，有f（-x）=-f（x），
從而f（-0）=-f（0），即f（0）=0，但是f（0）=4⁰+|2⁰-a|=1+|1-a|≠0，矛盾．
∴f（x）不是奇函數(shù)；
（2）解：∵2^x＞0，4^x＞0，
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=4^x+2^x-a，
由f（x）＞a²，得4^x+2^x-a＞a²，即4^x+2^x-a（a+1）＞0，（2^x-a）（2^x+a+1）＞0，
∵2^x-a＞0，
∴2^x+a+1＞0，即2^x＞-（a+1）．
①當(dāng)a+1≥0，即-1≤a≤0時(shí)，2^x＞-（a+1）恒成立，
故x的取值范圍是（-∞，+∞）；
②當(dāng)a+1＜0，即a＜-1時(shí)，
由2^x＞-（a+1），得x＞log₂[-（a+1）]，
故x的取值范圍是（log₂[-（a+1）]，+∞）；
（3）解：令t=2^x，則t＞0，原函數(shù)變成y=t²+|t-a|．
①若a≤0，則y=t²+t-a在t∈（0，+∞）上是增函數(shù)，值域?yàn)椋?a，+∞）．
②若a＞0，則y=

t2-t+a，0＜t≤a t2+t-a，t＞a

，
對(duì)于0＜t≤a，有y=(t-

1

2

)2+a-

1

4

，
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，y是關(guān)于t的減函數(shù)，y的取值范圍是[a²，a）；
當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，ymin=a-

1

4

，
當(dāng)

1

2

≤a＜1時(shí)，y的取值范圍是[a-

1

4

，a)，
當(dāng)a≥1時(shí)，y的取值范圍是[a-

1

4

，a2]．
對(duì)于t＞a，有y=t²+t-a=(t+

1

2

)2-a-

1

4

是關(guān)于t的增函數(shù)，
其取值范圍（a²，+∞）．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域是（-a，+∞）；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域是[a²，+∞）；
當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）的值域是[a-

1

4

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，訓(xùn)練了函數(shù)值域的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于正確分類，屬有一定難度題目．