Question

已知圓C：x²+y²+Dx-6y+1=0上有兩點P、Q關(guān)于直線x-y+4=0對稱．直線l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0被⊙C截得的弦長最短時，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：圓C：x²+y²+Dx-6y+1=0上有兩點P、Q關(guān)于直線x-y+4=0對稱，說明直線過圓心，易求D的值，然后求出圓的半徑，可得圓的方程，當(dāng)圓心C（-1，3）與A（3，1）的連線與l垂直時，直線l被圓C截得的弦最短，由此可得結(jié)論．

解答： 解：（1）圓C：x²+y²+Dx-6y+1=0，圓心為（-

D

2

，3）．
∵點P、Q在圓上且關(guān)于直線x-y+4=0對稱，
∴圓心（-

D

2

，3）在直線上．代入得D=2．
圓C：x²+y²+2x-6y+1=0，即圓C：（x+1）²+（y-3）²=9，
直線l：（2m-1）x-（m-1）y+8m-6=0，即：m（2x-y+8）+（-x+y-6）=0，恒過（-2，4）點，
當(dāng)圓心C（-1，3）與A（-2，4）的連線與所求截距所在直線垂直時，直線l被圓C截得的弦最短
∵CA=

(-1+2)2+(3-4)2

=

2

，圓的半徑為3，
∴直線l被圓C截得的弦最短的弦長為2

32-( 2 )2

=2

7

．
∴k_AC=

4-3

-2+1

=-1，
∴

2m-1

m-1

=1，
∴m=0．

點評：本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，直線的一般式方程，考查直線恒過定點，考查直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)與方程的思想，是中檔題．