【題目】已知函數(shù)，其中，設(shè)為導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）設(shè)，若恒成立，求的范圍；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的極小值點(diǎn)為，當(dāng)時，求證：.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（I）計(jì)算的導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算最小值，結(jié)合恒不等式，建立不等關(guān)系，計(jì)算a的范圍，即可。（II）構(gòu)造函數(shù)，判定極小值點(diǎn)，進(jìn)而得到的單調(diào)性，得到

，結(jié)合單調(diào)性，即可。

（Ⅰ）由題設(shè)知，，

，.

當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故在處取到最小值，且.

由于恒成立，所以.

（Ⅱ）設(shè)，則.

設(shè)，則，

故在上單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，所以，,

故存在，使得，

則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故是的極小值點(diǎn)，因此.

由（Ⅰ）可知，當(dāng)時，.

因此 ，即單調(diào)遞增.

由于，即，即，

所以 .

又由（Ⅰ）可知，在單調(diào)遞增，因此.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓：的離心率為，橢圓上一點(diǎn)到左右兩個焦點(diǎn)、的距離之和是4.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)與左右頂點(diǎn)不重合，若，求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓（）經(jīng)過與兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足，求證： 為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且與軸垂直的直線被橢圓和圓截得的弦長分別為2和.

（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知動直線與拋物線：相切（切點(diǎn)異于原點(diǎn)），且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，問：橢圓上是否存在點(diǎn)，使得，若存在求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列說法中正確的是（ ）

A.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測數(shù)據(jù)，其線性回歸方程是，且，則實(shí)數(shù)的值是

B.正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率相等

C.若兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1

D.若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)都是2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：

①；

②；

③；

④；

⑤；

（1）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，

(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)對任意的，，恒有，求正數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[2019·清遠(yuǎn)期末]一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了4組觀測數(shù)據(jù)列于下表中，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如下：

溫度

20

25

30

35

產(chǎn)卵數(shù)/個

5

20

100

325

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個更適宜作為產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（數(shù)字保留2位小數(shù)）；

（3）要使得產(chǎn)卵數(shù)不超過50，則溫度控制在多少以下？（最后結(jié)果保留到整數(shù)）

參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，

5

20

100

325

1.61

3

4.61

5.78

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐的底面是邊長為的菱形，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，點(diǎn)在平面的射影為，為棱上一點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若為棱的中點(diǎn)，，求直線與平面所成角的正弦值。

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