Question

【題目】已知橢圓（）經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得橢圓的方程為；

(2)利用（1）中求得的橢圓方程結(jié)合題意分類(lèi)討論可證得為定值2.

試題解析：

（1）將 與（，）兩點(diǎn)代入橢圓C的方程，

得解得． ∴橢圓PM2的方程為．

（2）由|MA|=|MB|，知M在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．

①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，此時(shí)

=．

同理，若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn)，此時(shí)

=．

②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx（k≠0），

則直線(xiàn)OM的方程為，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

由解得，，

∴=，同理，

所以=2×+=2，

故=2為定值．