【題目】設(shè)函數(shù), .

(Ⅰ)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù),并說明理由;

(Ⅱ)記,討論的單調(diào)性;

(Ⅲ)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ) 時, 單調(diào)遞減, 時, 單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;(Ⅲ) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意知,∴

單調(diào)遞增,又 ,因此函數(shù)內(nèi)存在零點(diǎn).

所以的零點(diǎn)的個數(shù)為1.

(Ⅱ)由題意, ,分時和 兩種情況討論,可知的單調(diào)性;

(Ⅲ)由題意: ,

問題等價于恒成立,

討論可知 ,

即當(dāng)恒成立時,必有.

當(dāng)時,設(shè)

①若,則時,, 不恒成立.

②若,即時, 恒成立.

試題解析:(Ⅰ)由題意知,∴,

單調(diào)遞增,

,

因此函數(shù)內(nèi)存在零點(diǎn).

所以的零點(diǎn)的個數(shù)為1.

(Ⅱ),

,

當(dāng)時, , 上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,由,解得(舍去負(fù)值),

所以時, , 單調(diào)遞減,

時, , 單調(diào)遞增.

綜上時, 單調(diào)遞減,

時, 單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.

(Ⅲ)由題意: ,

問題等價于恒成立,

設(shè),

若記,

當(dāng)時,

單調(diào)遞增,

,

,

,由于,故,故

即當(dāng)恒成立時,必有.

當(dāng)時,設(shè),

①若,則時,

由(Ⅱ)知, 單調(diào)遞減, , 單調(diào)遞增,

因此,而,

即存在,使,

故當(dāng)時, 不恒成立.

②若,即時,

設(shè),

由于,

,故,

因此,

單調(diào)遞增.

所以時,

時, 恒成立.

綜上: , 成立.

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【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1, )處的切線方程;

(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

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(1)求;

(2)若直線軸于點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(1)說明以上4個事件的關(guān)系.

(2)求兩兩運(yùn)算的結(jié)果.

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(I)求該小組未能進(jìn)入第二輪的概率;

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A. 20 B. 21 C. 22 D. 24

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