Question

已知圓C和y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且被直線y=x截得的弦長(zhǎng)為2

7

．
（1）求圓C的方程；  
（2）判斷圓C與圓M：（x-10）²+（y-10）²=1的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系及其判定,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）由圓心在直線x-3y=0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對(duì)值等于圓的半徑，表示出半徑r，然后過圓心作出弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離d，由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可．
（2）求出兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)，求出半徑，利用圓心距與半徑的和與差的關(guān)系，判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系．

解答： 解：（1）設(shè)圓心為（3t，t），半徑為r=|3t|，
則圓心到直線y=x的距離 d=

|3t-t|

2

=|

2

t|，
而 （

7

）²=r²-d²，9t²-2t²=7，t=±1，
∴（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．
（2）圓C為（x-3）²+（y-1）²=9時(shí)，圓心（3，1），半徑為3，
圓M：（x-10）²+（y-10）²=1的圓心（10，10），半徑為1，
圓心距：

(10-3)2+(10-1)2

=

130

＞3+1，
兩個(gè)圓相離．
圓C為（x+3）²+（y+1）²=9時(shí)，圓心（-3，-1），半徑為3，
圓M：（x-10）²+（y-10）²=1的圓心（10，10），半徑為1，
圓心距：

(10+3)2+(10+1)2

=

290

＞3+1，
兩個(gè)圓相離．

點(diǎn)評(píng)：考查了垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線的距離公式．根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)考查圓與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力．