Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且x＞0時(shí)，恒有f（x）＞1
（1）求證：f（x）在定義域R上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若f（3）=4，解不等式f（a²+a-5）＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）定義法：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁），由已知可判斷其符號(hào)；
（2）令m=n=1可求得f（2），進(jìn)而可得f（1）=2，利用單調(diào)性可去掉不等式中的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式．

解答： （1）證明：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞1，
又f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的增函數(shù)．
（2）解：∵m，n∈R，不妨設(shè)m=n=1，
∴f（1+1）=f（1）+f（1）-1，即f（2）=2f（1）-1，
f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-1=2f（1）-1+f（1）-1=3f（1）-2=4，
∴f（1）=2，
∴f（a²+a-5）＜2=f（1），
∵f（x）在R上為增函數(shù)，∴a²+a-5＜1，解得-3＜a＜2，
∴a∈（-3，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷、抽象不等式的求解，考查轉(zhuǎn)化思想，抽象函數(shù)的單調(diào)性常用定義解決，抽象不等式的求解往往轉(zhuǎn)化為具體不等式處理．