Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

x-2

（x∈R，且x≠2）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=x²-2ax與函數(shù)f（x）在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）f（x）=

x2

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+4，令x-2=t，結合y=t+

4

t

+4的單調(diào)性，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題意，x∈[0，1]時，g（x）∈[-1，0]，確定最小值只能為g（1）或g（a），即可求a的值．

解答： 解：（1）f（x）=

x2

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+4，…（2分）
令x-2=t，由于y=t+

4

t

+4在（-∞，-2），（2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-2，0），（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（4，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），（2，4）．…（6分）
（2）∵f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞減，∴其值域為[-1，0]，
即x∈[0，1]時，g（x）∈[-1，0]．…（8分）
∵g（0）=0為最大值，∴最小值只能為g（1）或g（a），…（9分）
若g（1）=-1，則

a≥1 1-2a=-1

⇒a=1；
若g（a）=-1，則

1 2 ≤a≤1 -a2=-1

⇒a=1．
綜上得a=1…（12分）

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的值域，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．