Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-n，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：{a_n+1}為等比數(shù)列；并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=

n

an+1-an

，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n，要使對于任意的n∈N^*都有T_n＜M恒成立，求M的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出a₁=1．a(chǎn)_n-1=2a_n-1，由此利用構(gòu)造法能證明{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴an+1=2n，并能求出a_n═2ⁿ-1，n∈N^*．
（Ⅱ）bn=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

，由此利用錯(cuò)位相減法求出Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．從而能求出M的最小值．

解答： （I）證明：∵S_n=2a_n-n，n∈N^*．
∴n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-n）-（2a_n-1-n+1）=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n-1=2a_n-1，∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∴

an+1

an-1+1

=2，∵a₁+1=2，
∴{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴an+1=2n，
∴a_n═2ⁿ-1，n∈N^*．
（Ⅱ）∵a_n═2ⁿ-1，n∈N^*，b_n=

n

an+1-an

，
∴bn=

n

(2n+1-1)-(2n-1)

=

n

2n+1-2n

=

n

2n

．
∴Tn=

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+2×

1

23

+3×

1

24

+…+n×

1

2n+1

②
①-②得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

1

2n+1

．
故 

1

2

Tn=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1．

∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．
∵Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

＜M，
∴M≥2．
∴M_min=2，即M的最小值是2．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查實(shí)數(shù)的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．