Question

已知橢圓的離心率為，右焦點為，過原點的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線交橢圓于點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：為定值，并求面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），的面積有最小值

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法即可求得橢圓方程為 ；（Ⅱ）當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時，

易得，的面積 ；當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得到，從而，同理，從而

，由基本不等式可得的面積當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時，等號成立，當(dāng)然也可直接用算出最小值

當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，

試題解析：（Ⅰ）由題意，因為，所以， 2分

所以

所以橢圓的方程為 4分

（Ⅱ）當(dāng)直線垂直于坐標(biāo)軸時，

易得，的面積 1分

當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，

則由 消元得，

所以， 3分

所以 4分

又是線段的垂直平分線，故方程為，

同理可得 5分

從而為定值。 7分

方法一：由，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時，即，時，等號成立，

所以的面積 。 9分

所以，當(dāng)時，的面積有最小值。 10分

方法二：的面積

所以

9分

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，的面積有最小值。 10分

考點：圓錐曲線及其綜合應(yīng)用