Question

已知橢圓的離心率為，右焦點為，過原點的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線交橢圓于點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：為定值，并求面積的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），的面積有最小值

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用待定系數法即可求得橢圓方程為 ；（Ⅱ）當直線垂直于坐標軸時，

易得，的面積 ；當直線與坐標軸不垂直時，設直線的方程為，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得到，從而，同理，從而

，由基本不等式可得的面積當且僅當時，即，時，等號成立，當然也可直接用算出最小值

當直線與坐標軸不垂直時，設直線的方程為，

試題解析：（Ⅰ）由題意，因為，所以， 2分

所以

所以橢圓的方程為 4分

（Ⅱ）當直線垂直于坐標軸時，

易得，的面積 1分

當直線與坐標軸不垂直時，設直線的方程為，

則由 消元得，

所以， 3分

所以 4分

又是線段的垂直平分線，故方程為，

同理可得 5分

從而為定值。 7分

方法一：由，所以，

當且僅當時，即，時，等號成立，

所以的面積 。 9分

所以，當時，的面積有最小值。 10分

方法二：的面積

所以

9分

所以，當且僅當時，即時，的面積有最小值。 10分

考點：圓錐曲線及其綜合應用