Question

把曲線C：y=sin(

7π

8

-x)•cos(x+

π

8

)的圖象向右平移a（a＞0）個(gè)單位，得到曲線C′的圖象，且曲線C′的圖象關(guān)于直線x=

π

4

對稱，當(dāng)x∈[

2b+1

8

π，

3b+2

8

π]（b為正整數(shù)）時(shí)，過曲線C′上任意兩點(diǎn)的斜率恒大于零，則b的值為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：化簡曲線C的解析式為y=

1

2

sin（2x+

π

4

），可得曲線C′的解析式，再根據(jù)圖象曲線C′的關(guān)于直線x=

π

4

對稱，求得a=

π

8

，故曲線C′的解析式為 y=

1

2

sin2x．由題意可得，[

2b+1

8

π，

3b+2

8

π]是y=

1

2

sin2x的一個(gè)增區(qū)間，而函數(shù) y=

1

2

sin2x的增區(qū)間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈z，由此求得正整數(shù)b的值．

解答： 解：曲線C：y=sin(

7π

8

-x)•cos(x+

π

8

)=sin（x+

π

8

）cos(x+

π

8

)=

1

2

sin（2x+

π

4

），
把它的圖象向右平移a（a＞0）個(gè)單位，得到y(tǒng)=

1

2

sin[2（x-a）+

π

4

]=

1

2

sin（2x-2a+

π

4

）的圖象，
故曲線C′的解析式為 y=

1

2

sin（2x-2a+

π

4

）．
再根據(jù)圖象曲線C′的關(guān)于直線x=

π

4

對稱，可得 2×

π

4

-2a+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z．
故可取a=

π

8

，故曲線C′的解析式為 y=

1

2

sin2x．
由題意可得，[

2b+1

8

π，

3b+2

8

π]是y=

1

2

sin2x的一個(gè)增區(qū)間，
而由2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈z，
故函數(shù) y=

1

2

sin2x的增區(qū)間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈z．
∴kπ-

π

4

≤

2b+1

8

π，且

3b+2

8

π≤kπ+

π

4

，k∈z．
再根據(jù)b為正整數(shù)，可得b=1，
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性、單調(diào)性，屬于中檔題．