Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACFE；
（Ⅱ）求二面角B-EF-D的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出四邊形ABCD是等腰梯形，進而推導(dǎo)出AC⊥BC，由此能證明BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）取EF中點G，EB中點H，連結(jié)DG、GH、DH，由題設(shè)條件推導(dǎo)出∠DGH是二面角B-EF-D的平面角，由此能求出二面角B-EF-D的平面角余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，AD=CD=CB=a，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，…（2分）
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°，
∴AC⊥BC．…（4分）
又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交線為AC，
∴BC⊥平面ACFE．…（6分）
（Ⅱ）取EF中點G，EB中點H，連結(jié)DG、GH、DH，
∵AD=CD=CB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四邊形ACFE是矩形，AE=a．
∴DE=DF，∴DG⊥EF，…（8分）
∵BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，
又∵EF⊥FC，∴EF⊥FB，
又∵GH∥BF，∴EF⊥GH，
∴∠DGH是二面角B-EF-D的平面角．…（10分）
在△BDE中，DE=

2

a，DB=

3

a，BE=

AE2+AB2

=

5

a，
∴BE²=DE²+DB²，∴∠EDB=90°，
∴DH=

5

2

a，又DG=

5

2

a，GH=

2

2

a，…（12分）
∴在△DGH中，由余弦定理得
cos∠DGH=

10

10

，
∴二面角B-EF-D的平面角余弦值為

10

10

．…（14分）
（注：若用空間向量解答，則酌情給分．）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的平面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．