Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點(diǎn)，AE=ED=

3

，SE⊥AD．
（Ⅰ）證明：BE⊥平面SEC；
（Ⅱ）若SE=1，求直線CE與平面SBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由平面SAD⊥平面ABCD，知SE⊥平面ABCD，所以SE⊥BE，由四邊形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AE=AB，DE=DC，CD=3AB=3，AE=ED=

3

，可得BE⊥CE，由此能夠證明BE⊥平面SEC，從而可得平面SBE⊥平面SEC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面SBC的法向量

CE

，利用向量的夾角公式，即可求直線CE與平面SBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由已知條件可得：∠AEB=30°，∠DEC=60°，
∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC
又∵平面SAD⊥平面ABCD，SE⊥AD，
∴SE⊥面BEC，
∵BE?平面SBE，
∴BE⊥平面SEC；
（Ⅱ）解：如圖分別以EB、EC、ES所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C(0，2

3

，0)，S（0，0，1），B（2，0，0），
設(shè)平面SBC的法向量

n

=(x，y，z)，則有：

n • SB =0 n • SC =0

⇒

n

=(

3

，1，2

3

)，
設(shè)直線CE與平面SBC所成角為θ，有sinθ=

| CE • n |

| CE |•| n |

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理以及線面角等，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．