Question

11．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0），在x=$\frac{π}{4}$處取得最大值，則函數(shù)g（x）=f（$\frac{3}{4}$π-x）是（　　）

• A． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對稱
• B． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）對稱
• C． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）對稱
• D． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn) （π，0）對稱

Answer 1

分析 首先，根據(jù)已知得到f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），然后根據(jù)最值建立等式，得到a=b，再化簡函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），從而求解問題．

解答 解：∵f（x）=asinx+bcosx
=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+θ），
在x=$\frac{π}{4}$處取得最大值，
∴f（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}（a+b）$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴（a-b）²=0．
∴a=b＞0，
f（x）=asinx+bcosx
=$\sqrt{2}a$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴g（x）=f（$\frac{3}{4}$π-x）
=$\sqrt{2}a$sin[（$\frac{3π}{4}$-x）+$\frac{π}{4}$]
=$\sqrt{2}a$sin（π-x）
=$\sqrt{2}a$sinx，
∴g（x）=$\sqrt{2}a$sinx
∵g（-x）=$\sqrt{2}a$sin（-x）=-$\sqrt{2}a$sinx=-g（x）
∴g（x）為奇函數(shù)，
對稱中心為（kπ，0），k∈Z，
故選：D．

點(diǎn)評 本題重點(diǎn)考查了輔助角公式、三角函數(shù)的最值、函數(shù)的基本性質(zhì)等知識，屬于中檔題．