【題目】已知函數(shù)，其中．是自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若曲線在處的切線方程為．求實數(shù)的值；

（2）① 若時，函數(shù)既有極大值，又有極小值，求實數(shù)的取值范圍；

② 若，．若對一切正實數(shù)恒成立，求實數(shù)的最大值（用表示）．

【答案】（1）.（2）①②

【解析】

試題（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，又過過點(1,0)，因此可列方程組，解得（2）①由題意得，導(dǎo)函數(shù)有兩個不同的零點，即有兩個不同的解，研究目標(biāo)函數(shù) 得在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，因此②先化簡不等式：，再分別求證，（當(dāng)且僅當(dāng)都在處取到等號），最后利用不等式性質(zhì)得

試題解析： (1) 由題意知曲線過點(1,0)，且；又因為，則有解得.

(2)①當(dāng)時，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若時，得，設(shè) . 由 ，得，. 當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，；當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，有兩個不同的解，設(shè)為， .

此時，函數(shù)既有極大值，又有極小值.

②由題意對一切正實數(shù)恒成立，取得.下證對一切正實數(shù)恒成立.首先，證明. 設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；得，即，當(dāng)且僅當(dāng)都在處取到等號. 再證. 設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；得，即，當(dāng)且僅當(dāng)都在處取到等號. 由上可得，所以，即實數(shù)的最大值為.

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【題目】在數(shù)列{an}中，已知，且2an+1=an+1（n∈N*）．

（1）求證：數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列；

（2）若bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．

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【題目】某校舉行漢字聽寫比賽，為了了解本次比賽成績情況，從得分不低于50分的試卷中隨機抽取100名學(xué)生的成績(得分均為整數(shù)，滿分100分)進行統(tǒng)計，請根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）求的值；

（2）若從成績較好的第3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取6人參加市漢字聽寫比賽，并從中選出2人做種子選手，求2人中至少有1人是第4組的概率.

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【題目】設(shè)集合，.

(1)若，求實數(shù)的值;

(2)若，求實數(shù)的范圍.

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【題目】在一個長方體的容器中，里面裝有少量的水，現(xiàn)在將容器繞著其底部的一條棱傾斜．

（1）在傾斜的過程中，水面的形狀不斷變化，可能是矩形，也可能變成不是矩形的平行四邊形，對嗎？

（2）在傾斜的過程中，水的形狀也不斷變化，可以是棱柱，也可能變?yōu)槔馀_或棱錐，對嗎？

（3）如果傾斜時，不是繞著底部的一條棱，而是繞著其底面的一個頂點，上面的第（1）問和第（2）問對不對？

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【題目】已知，，.

（1）解關(guān)于的方程；

（2）設(shè)，時，對任意，總有成立，求的取值范圍.

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【題目】已知動點P與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離的比值為2，點P的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的軌跡方程

（2）過點（﹣1，0）作直線與曲線C交于A，B兩點，設(shè)點M坐標(biāo)為（4，0），求△ABM面積的最大值．

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【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，過F且斜率為的直線l與拋物線C交于A，B兩點，B在x軸的上方，且點B的橫坐標(biāo)為4．

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點P為拋物線C上異于A，B的點，直線PA與PB分別交拋物線C的準(zhǔn)線于E，G兩點，x軸與準(zhǔn)線的交點為H，求證：HGHE為定值，并求出定值．

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【題目】在正四面體ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，則下列命題正確的序號是______

①異面直線AB與CD所成角為90°；

②直線AB與平面BCD所成角為60°；

③直線EF∥平面ACD

④平面AFD⊥平面BCD．

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