Question

已知A、B分別是直線y=x和y=-x上的兩個動點，線段AB的長為2

3

，P是AB的中點．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與軌跡C交于M、N兩點，與y軸交于點R，若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，證明：λ+μ為定值．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義,軌跡方程

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據(jù)已知條件可設這幾個點的坐標：P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂），根據(jù)P是AB的中點，即可用x，y分別表示x₁，x₂，根據(jù)AB的長為2

3

，即可建立關(guān)于x，y的方程；
（2）設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₅），設出直線l的方程，聯(lián)立軌跡C的方程消去y，便得到關(guān)于x的方程，由韋達定理便可求出：x₃+x₄，x₃x₄，而由

RM

=λ

MQ

，可用x₃表示λ，由

RN

=μ

NQ

，可用x₄表示μ，這時候就可以求λ+μ．

解答： 解：（1）根據(jù)已知條件設：P（x，y），A（x₁，x₁），B（x₂，-x₂）則：

x= x1+x2 2 y= x1-x2 2

；
∴x₁=x+y，x₂=x-y；
∴A（x+y，x+y），B（x-y，y-x），∵AB=2

3

；
∴

(-2y)2+(-2x)2

=2

3

；
∴x²+y²=3
（2）設M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），R（0，y₅），直線l的斜率為k，則：y=k（x-1）；
由

y=k(x-1) x2+y2=3

得：（1+k²）x²-2k²x+k²-3=0；
∴x3+x4=

2k2

1+k2

           ①
x3x4=

k2-3

1+k2

               ②
∵

RM

=λ

MQ

∴（x₃，y₃-y₅）=λ（1-x₃，-y₃）；
∴x₃=λ（1-x₃）
∵l不與x軸垂直，∴x₃≠1；
∴λ=

x3

1-x3

；
同理μ=

x4

1-x4

∴λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

x3+x4-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

；
將①②帶入上式得：λ+μ=-3．

點評：考查軌跡方程，及軌跡方程的求法，中點坐標公式，兩點間距離公式，韋達定理，向量的坐標．