Question

5．△ABC中，滿足：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，M是BC的中點．
（1）若|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，求向量$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$與向量2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$的夾角的余弦值．
（2）若點P是邊BC上一點，|$\overrightarrow{AP}$|=2，且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=2，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=1，求|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB，AC所在直線為x，y軸，建立直角坐標系，由題意不妨設B（1，0），C（0，1），求得向量$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$與向量2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$的坐標，運用數(shù)量積的坐標表示可得夾角的余弦值；
（2）設B（a，0），C（0，b），P（x，y），由|AP|=2，可得x²+y²=4，運用向量數(shù)量積的坐標表示，可得ax=1，by=2，運用向量的模的公式和基本不等式可得最小值．

解答 解：（1）以A為原點，AB，AC所在直線為x，y軸，建立直角坐標系，
由題意不妨設B（1，0），C（0，1），
則$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=（1，0）+（0，2）=（1，2），2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=（2，0）+（0，1）=（2，1），
即有$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$與2$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$的夾角的余弦值為$\frac{（\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}）•（2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）}{|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}|•|2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1×2+2×1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$；
（2）設B（a，0），C（0，b），P（x，y），由|AP|=2，可得x²+y²=4，
即有y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，
$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=by=2，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=ax=1，
由x²+y²=4，可得$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$=4，
$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}$=（a+x，b+y），即有|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{（a+x）^{2}+（b+y）^{2}}$
=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+{x}^{2}+{y}^{2}+2ax+2by}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}+4+2+4}$
=$\sqrt{10+{a}^{2}+^{2}}$，
由a²+b²=$\frac{1}{4}$（a²+b²）（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{^{2}}$）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{^{2}}$）
≥$\frac{1}{4}$（5+2$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{4{a}^{2}}{^{2}}}$）=$\frac{9}{4}$．當且僅當b=$\sqrt{2}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$取得等號．
即有|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{10+{a}^{2}+^{2}}$的最小值為$\sqrt{10+\frac{9}{4}}$=$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標表示，注意運用坐標法的運用，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．