設(shè)函數(shù)f(x)x2(a2)xalnx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求滿足條件的最小正整數(shù)a的值;

(3)若方程f(x)c有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2求證:f>0.

 

1單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為233)見(jiàn)解析

【解析】(1)【解析】
f(x)2x(a2) (x>0)

當(dāng)a≤0時(shí),f(x)>0,函數(shù)f(x)(0,∞)上單調(diào)遞增

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,∞)

當(dāng)a>0時(shí)f(x)>0,x> ;由f(x)<0,0<x< .

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為.

(2)【解析】
(1),若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),a>0,f(x)的最小值f <0即-a24a4aln <0.因?yàn)?/span>a>0,所以a4ln4>0.

h(a)a4ln4顯然h(a)(0,∞)上為增函數(shù),h(2)=-2<0,h(3)4ln 1ln1>0,所以存在a0(23),h(a0)0.

當(dāng)a>a0時(shí)h(a)>0;當(dāng)0<a<a0時(shí),h(a)<0.所以滿足條件的最小正整數(shù)a3.

又當(dāng)a3時(shí),f(3)3(2ln3)>0f(1)0,所以a3時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述滿足條件的最小正整數(shù)a的值為3.

(3)證明:因?yàn)?/span>x1、x2是方程f(x)c的兩個(gè)不等實(shí)根,(1)a>0.

不妨設(shè)0<x1<x2,(a2)x1alnx1c,(a2)x2alnx2c.

兩式相減得(a2)x1alnx1(a2)·x2alnx20,

2x12x2ax1alnx1ax2alnx2a(x1lnx1x2lnx2)

所以a.

因?yàn)?/span>f0,當(dāng)x∈時(shí),f(x)<0當(dāng)x∈時(shí),f(x)>0,

故只要證> 即可即證明x1x2> ,

即證明(x1x2)(lnx1lnx2)< 2x12x2,

即證明ln <.設(shè)t (0<t<1)

g(t)lntg(t).

因?yàn)?/span>t>0所以g(t)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)t1時(shí)g(t)0,

所以g(t)(0,∞)上是增函數(shù).

g(1)0所以當(dāng)t∈(0,1),g(t)<0總成立.所以原題得證.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第二章第2課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)x24ax2a6.

(1) f(x)的值域是[0,∞)a的值;

(2) 若函數(shù)f(x)≥0恒成立,求g(a)2a|a1|的值域.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第二章第14課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題

已知函數(shù)yf(x)是偶函數(shù),對(duì)于x∈R都有f(x6)f(x)f(3)成立.當(dāng)x1x2[0,3],x1x2時(shí)都有>0,給出下列命題:

f(3)0;

直線x=-6是函數(shù)yf(x)的圖象的一條對(duì)稱軸;

函數(shù)yf(x)[9,6]上為單調(diào)增函數(shù);

函數(shù)yf(x)[9,9]上有4個(gè)零點(diǎn).

其中正確的命題是________(填序號(hào))

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第二章第13課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

我國(guó)遼東半島普蘭附近的泥炭層中,發(fā)掘出的古蓮子,至今大部分還能發(fā)芽開(kāi)花,這些古蓮子是多少年以前的遺物呢?要測(cè)定古物的年代可用放射性碳法.在動(dòng)植物的體內(nèi)都含有微量的放射性14C,動(dòng)植物死亡后,停止了新陳代謝,14C不再產(chǎn)生,且原有的14C會(huì)自動(dòng)衰變,經(jīng)過(guò)5570(叫做14C的半衰期)它的殘余量只有原始量的一半,經(jīng)過(guò)科學(xué)家測(cè)定知道,14C的原始含量為a,則經(jīng)過(guò)t年后的殘余量a(a之間滿足aa·ekt).現(xiàn)測(cè)得出土的古蓮子中14C殘余量占原量的87.9%試推算古蓮子的生活年代.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第二章第13課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題

某地高山上溫度從山腳起每升高100m降低0.6.已知山頂?shù)臏囟仁?/span>14.6℃,山腳的溫度是26℃,則此山的高為________m.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第二章第12課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

某地方政府在某地建一座橋,兩端的橋墩相距m此工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩(包括兩端的橋墩).經(jīng)預(yù)測(cè),一個(gè)橋墩的費(fèi)用為256萬(wàn)元,相鄰兩個(gè)橋墩之間的距離均為x,且相鄰兩個(gè)橋墩之間的橋面工程費(fèi)用為(1)x萬(wàn)元假設(shè)所有橋墩都視為點(diǎn)且不考慮其他因素,記工程總費(fèi)用為y萬(wàn)元.

(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)當(dāng)m1280米時(shí)需要新建多少個(gè)橋墩才能使y最。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第二章第12課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題

用長(zhǎng)為90cm、寬為48cm的長(zhǎng)方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的容器先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻折90°,焊接而成,則該容器的高為________cm時(shí)容器的容積最大.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第二章第11課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

某一運(yùn)動(dòng)物體,x(s)時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離(單位:m)f(x)x3x22x.

(1)求在第1s內(nèi)的平均速度;

(2)求在1s末的瞬時(shí)速度;

(3)經(jīng)過(guò)多少時(shí)間該物體的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到14m/s?

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013-2014學(xué)年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)引領(lǐng)+技巧點(diǎn)撥第三章第9課時(shí)練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題

cosxcosysinxsiny,sin2xsin2y,sin(xy)________

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案