【題目】點O為坐標原點,直線l經(jīng)過拋物線C:y2=4x的焦點F.
(Ⅰ)若點O到直線l的距離為 , 求直線l的方程;
(Ⅱ)設(shè)點A是直線l與拋物線C在第一象限的交點.點B是以點F為圓心,|FA|為半徑的圓與x軸負半軸的交點.試判斷直線AB與拋物線C的位置關(guān)系,并給出證明.
【答案】解法一:(Ⅰ)拋物線的焦點F(1,0),
當直線l的斜率不存在時,即x=1不符合題意.
當直線l的斜率存在時,
設(shè)直線l的方程為:y=k(x﹣1),即kx﹣y﹣k=0.
所以,,解得:.
故直線l的方程為:y=(x-1),即
(Ⅱ)直線AB與拋物線相切,證明如下:
(法一):設(shè)A(x0 , y0),則.
因為|BF|=|AF|=x0+1,所以B(﹣x0 , 0).
所以直線AB的方程為:y=,
整理得:x=…(1)
把方程(1)代入y2=4x得:,
,
所以直線AB與拋物線相切.
【解析】(Ⅰ)拋物線的焦點F(1,0),當直線l的斜率不存在時,即x=1不符合題意.當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為:y=k(x﹣1),所以 , 由此能求出直線l的方程.
(Ⅱ)直線AB與拋物線相切.設(shè)A(x0 , y0),則 . 因為|BF|=|AF|=x0+1,所以B(﹣x0 , 0),由此能夠證明直線AB與拋物線相切.
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【題目】設(shè)函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點,求的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,角A、B、C對應(yīng)邊分別為a、b、c.
(1)若a=14,b=40,cosB=,求cosC;
(2)若a=3,b=,B=2A,求c的長度.
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【題目】2018年2月22日,在韓國平昌冬奧會短道速滑男子米比賽中,中國選手武大靖以連續(xù)打破世界紀錄的優(yōu)異表現(xiàn),為中國代表隊奪得了本屆冬奧會的首枚金牌,也創(chuàng)造了中國男子冰上競速項目在冬奧會金牌零的突破.根據(jù)短道速滑男子米的比賽規(guī)則,運動員自出發(fā)點出發(fā)進入滑行階段后,每滑行一圈都要依次經(jīng)過個直道與彎道的交接口.已知某男子速滑運動員順利通過每個交接口的概率均為,摔倒的概率均為.假定運動員只有在摔倒或到達終點時才停止滑行,現(xiàn)在用表示該運動員滑行最后一圈時在這一圈內(nèi)已經(jīng)順利通過的交接口數(shù).
(1)求該運動員停止滑行時恰好已順利通過個交接口的概率;
(2)求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】定義:曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離,已知曲線C1:y=x2+a到直線l:y=x的距離等于曲線C2:x2+(y+4)2=2到直線l:y=x的距離,則實數(shù)a=
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【題目】據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),某種產(chǎn)品在投放市場的30天中,其銷售價格(元)和時間(天)的關(guān)系如圖所示.
(1)求銷售價格(元)和時間(天)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若日銷售量(件)與時間(天)的函數(shù)關(guān)系式是 ,問該產(chǎn)品投放市場第幾天時,日銷售額(元)最高,且最高為多少元?
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【題目】某市一個社區(qū)微信群“步行者”有成員100人,其中男性70人,女性30人,現(xiàn)統(tǒng)計他們平均每天步行的時間,得到頻率分布直方圖,如圖所示:
若規(guī)定平均每天步行時間不少于2小時的成員為“步行健將”,低于2小時的成員為“非步行健將”.已知“步行健將”中女性占.
(1)填寫下面列聯(lián)表,并通過計算判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“是否為‘步行健將’與性別有關(guān)”;
(2)現(xiàn)從“步行健將”中隨機選派2人參加全市業(yè)余步行比賽,求2人中男性的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式:,其中.
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【題目】已知橢圓系方程: (, ), 是橢圓的焦點, 是橢圓上一點,且.
(1)求的方程;
(2)為橢圓上任意一點,過且與橢圓相切的直線與橢圓交于, 兩點,點關(guān)于原點的對稱點為,求證: 的面積為定值,并求出這個定值.
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【題目】《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著,成于公元一世紀左右,系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就.其中《方田》一章中記載了計算弧田(弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形)的面積所用的經(jīng)驗公式:弧田面積=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差.現(xiàn)有圓心角為,弦長為的弧田.其實際面積與按照上述經(jīng)驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為( )平方米.(其中,)
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
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