Question

已知函數(shù)f（x）=-（x+2）（x-m）（其中m＞-2）．g（x）=2^x-2．
（Ⅰ）若命題“l(fā)og₂g（x）≥1”是假命題，求x的取值范圍；
（Ⅱ）設命題p：?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；命題q：?x∈（-1，0），f（x）g（x）＜0．若p∧q是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假

專題：簡易邏輯

分析：（I）由于命題“l(fā)og₂g（x）≥1”是假命題，可得log₂g（x）＜1，即log2(2x-2)＜1，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性即可得出x的取值范圍；
（II）由于p∧q是真命題，可得p與q都是真命題．由于當x＞1時，g（x）＞0，又p是真命題，可得f（x）＜0．由f（1）＜0，可得m＜1．當-1＜x＜0時，g（x）＜0．由于q是真命題，則?x∈（-1，0），使得f（x）＞0，利用f（-1）＞0，可得m的取值范圍．

解答： 解：（I）∵命題“l(fā)og₂g（x）≥1”是假命題，則log₂g（x）＜1，即log2(2x-2)＜1，∴0＜2^x-2＜2，解得1＜x＜2．
∴x的取值范圍是（1，2）；
（II）∵p∧q是真命題，∴p與q都是真命題．
當x＞1時，g（x）=2^x-2＞0，又p是真命題，則f（x）＜0．
f（1）=-（1+2）（1-m）＜0，解得m＜1．
當-1＜x＜0時，g（x）=2^x-2＜0．
∵q是真命題，則?x∈（-1，0），使得f（x）＞0，
∴f（-1）=-（-1+2）（-1-m）＞0，即m＞-1．
綜上所述：-1＜m＜1．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性、簡易邏輯的有關知識，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．