Question

若原點(diǎn)O和點(diǎn)F（-3，0）分別是雙曲線

x2

a2

-y2=1（a＞0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則

OP

•

FP

的取值范圍為（　　）

• A、[8+6

  2

  ，+∞）
• B、[-3，+∞）
• C、[-

  1

  8

  ，+∞）
• D、[

  1

  8

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)和方程中的b求得a，則雙曲線的方程可得，設(shè)出點(diǎn)P，代入雙曲線方程求得縱坐標(biāo)的表達(dá)式，根據(jù)P，F(xiàn)，O的坐標(biāo)表示

OP

•

FP

，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最小值，則可得

OP

•

FP

的取值范圍．

解答： 解：設(shè)P（m，n），則

OP

•

FP

=（m，n）•（m+3，n）=m²+3m+n²．
∵F（-3，0）是雙曲線

x2

a2

-y2=1（a＞0）的左焦點(diǎn)，
∴a²+1=9，∴a²=8，
∴雙曲線方程為

x2

8

-y2=1，
∵點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，
∴

m2

8

-n2=1(m≥2

2

)，
∴n²=

m2

8

-1，
∵

OP

•

FP

=（m，n）•（m+3，n）=m²+3m+n²，
∴m²+2m+n²=m²+3m+

m2

8

-1=

9

8

m²+3m-1
∵m≥2

2

，
∴函數(shù)在[2

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m²+3m+n²≥8+6

2

，
∴

OP

•

FP

的取值范圍為[8+6

2

，+∞）．
故選：A．

點(diǎn)評：本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對基礎(chǔ)知識的熟練程度以及知識的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力．