已知P是△ABC所在的平面內(nèi)一點(diǎn)，AB=4，
PA
+
PB
+
PC
=
0
，
PA
•
PB
=
PB
•
PC
=
PC
•
PA
，若點(diǎn)D、E分別滿足
DC
=-
AC
，
BE
=3
EC
，則
AP
•
DE
=（　�。�
A、8
B、
3
C、-4
3
D、-8
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用
分析：由
PA
+
PB
+
PC
=
0
，推出P為重心，由于
PA
•
PB
=
PB
•
PC
=
PC
•
PA
，推出P又為垂心，故三角形ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4，運(yùn)用向量的合成與分解，將
AP
、
DE
用向量AB，AC表示，再化簡(jiǎn)
AP
•
DE
，運(yùn)用等邊三角形的特點(diǎn)，以及向量的模的公式和數(shù)量積的定義，即可得到答案．
解答： 解：∵
PA
+
PB
+
PC
=
0
，則
PA
+
PB
=-
PC
，
由平行四邊形法則，得CP延長(zhǎng)交AB于中點(diǎn)，
同理，BP延長(zhǎng)交AC于中點(diǎn)，∴P為重心；
∵
PA
•
PB
=
PB
•
PC
=
PC
•
PA
，∴
PB
•（
PA
-
PC
）=0，
即PB⊥AC，同理PC⊥AB，∴P又為垂心，
故三角形ABC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為4，
又點(diǎn)D、E分別滿足
DC
=-
AC
，
BE
=3
EC
，
則
AD
=2
AC
，
CE
=
1
4
CB
，
AP
=
2
3
×
1
2
（
AB
+
AC
）=
1
3
（
AB
+
AC
），
DE
=
AE
-
AD
=
AC
+
CE
-2
AC
=
1
4
CB
-
AC
=
AB
-5
AC
4
．
∴
AP
•
DE
=
1
12
（
AB
+
AC
）•（
AB
-5
AC
）
=
1
12
（
AB
2-5
AC
2-4
AB
•
AC
）
=
1
12
×（16-5×16-4×16×
1
2
）=-8．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查兩向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及兩向量的和、垂直的條件，考查三角形的重心和垂心，考查基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（ax+b）=2m-f（-ax+c）的對(duì)稱中心為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

半徑為R的球的內(nèi)接正三棱柱的三個(gè)側(cè)面積之和的最大值為（　�。�
A、3
3
R2
B、
3
R2
C、2
2
R2
D、
2
R2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
2x
-cosx，若
π
3
＜a＜b＜
5π
6
，則（　�。�
A、f（a）＞f（b）
B、f（a）＜f（b）
C、f（a）=f（b）
D、f（a）f（b）＞0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若原點(diǎn)O和點(diǎn)F（-3，0）分別是雙曲線
x2
a2
-y2=1（a＞0）的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則
OP
•
FP
的取值范圍為（　　）
A、[8+6
2
，+∞）
B、[-3，+∞）
C、[-
1
8
，+∞）
D、[
1
8
，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

四個(gè)小動(dòng)物換座位，開(kāi)始是鼠、猴、兔、貓分別坐1、2、3、4號(hào)位上（如圖），第一次前后排動(dòng)物互換座位，第二次左右列動(dòng)物互換座位，…這樣交替進(jìn)行下去，那么第2014次互換座位后，小兔坐在第（　　）號(hào)座位上．
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
，
b
的夾角為
π
4
，且|
a
|=4，（
1
2
a
+
b
）•（2
a
-3
b
）=12，則向量
b
在向量
a
方向上的投影是（　�。�
A、
2
B、4
C、4
2
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)是3，D是BC上的點(diǎn)，BD=1，則
AD
•
BC
=（　　）
A、-
9
2
B、-
3
2
C、
15
2
D、
5
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
4x+k•2x+1
4x+2x+1
．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有|f（x）-1|≤k成立，求k的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案