【題目】(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(1)若直線過點(diǎn)
,并且與曲線
相切,求直線
的方程;
(2)設(shè)函數(shù)在
上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求
的取值范圍。(其中
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
【答案】(1)直線的方程為
(2)a的取值范圍是
或
【解析】
試題分析:(1)先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率,從而確定切線的方程;(2)因?yàn)?/span>
,注意到g(1)=0,所以,所求問題等價(jià)于函數(shù)
在
上沒有零點(diǎn).因此只要求出函數(shù)
的導(dǎo)數(shù),根據(jù)的取值計(jì)論函數(shù)
在
上的性質(zhì),以確定
取何值時(shí),函數(shù)
在
上沒有零點(diǎn).
試題解析:解:(1)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則
切線的斜率為
所以切線的方程為
2分
又切線過點(diǎn)(1,0),所以有
即 解得
所以直線的方程為
4分
(或:設(shè),則
單增,
單減
有唯一解,
所以直線的方程為
4分)
(2)因?yàn)?/span>,注意到g(1)=0
所以,所求問題等價(jià)于函數(shù)在
上沒有零點(diǎn).
因?yàn)?/span>
所以由<0
<0
0<
<
>0
>
所以在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增. 6分
①當(dāng)即
時(shí),
在
上單調(diào)遞增,所以
>
此時(shí)函數(shù)g(x)在上沒有零點(diǎn) 7分
②當(dāng)1<<e,即1<a<2時(shí),
在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
又因?yàn)間(1)=0,g(e)=e-ae+a,在
上的最小值為
所以,(i)當(dāng)1<a時(shí),
在
上的最大值g(e)
0,即此時(shí)函數(shù)g(x)在
上有零點(diǎn)。 8分
(ii)當(dāng) <a<2時(shí), g(e)<0,即此時(shí)函數(shù)g(x)在
上沒有零點(diǎn). 10分
③當(dāng)即
時(shí),
在
上單調(diào)遞減,所以
在
上滿足
<
此時(shí)函數(shù)g(x)在
上沒有零點(diǎn)
綜上,所求的a的取值范圍是或
<a 12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知的一個(gè)內(nèi)角為
,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則
的面積為( )
A. 15 B. C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將正方形沿對(duì)角線
折成直二面角
,
①與平面
所成角的大小為
②是等邊三角形
③與
所成的角為
④
⑤二面角為
則上面結(jié)論正確的為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐PABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,底面ABCD是菱形,且∠ABC=60°,M為PC的中點(diǎn).
(1)求證:PC⊥AD.
(2)在棱PB上是否存在一點(diǎn)Q,使得A,Q,M,D四點(diǎn)共面?若存在,指出點(diǎn)Q的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校想了解高二數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趯W(xué)業(yè)水平考試中的情況,從中隨機(jī)抽出人的數(shù)學(xué)成績(jī)作為樣本并進(jìn)行統(tǒng)計(jì),頻率分布表如下表所示.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | |||
第2組 | |||
第3組 | |||
第4組 | |||
第5組 | |||
合計(jì) |
(1)據(jù)此估計(jì)這次參加數(shù)學(xué)考試的高二學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績(jī);
(2)從這五組中抽取人進(jìn)行座談,若抽取的這
人中,恰好有
人成績(jī)?yōu)?/span>
分,
人成績(jī)?yōu)?/span>
分,
人成績(jī)?yōu)?/span>
分,
人成績(jī)?yōu)?/span>
分,求這
人數(shù)學(xué)成績(jī)的方差;
(3)從人的樣本中,隨機(jī)抽取測(cè)試成績(jī)?cè)?/span>
內(nèi)的兩名學(xué)生,設(shè)其測(cè)試成績(jī)分別為
,
.
(i)求事件“”的概率;
(ii)求事件“”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,點(diǎn)O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),M是PD的中點(diǎn).
(1)求證:OM∥平面PAB;
(2)求證:平面PBD⊥平面PAC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,
,
,點(diǎn)
為棱
的中點(diǎn),點(diǎn)
為線段
上一動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)求證:當(dāng)點(diǎn)為線段
的中點(diǎn)時(shí),
平面
;
(Ⅱ)設(shè),試問:是否存在實(shí)數(shù)
,使得平面
與平面
所成銳二面角的余弦值為
?若存在,求出這個(gè)實(shí)數(shù)
;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】國(guó)家放開計(jì)劃生育政策,鼓勵(lì)一對(duì)夫婦生育2個(gè)孩子.在某地區(qū)的100000對(duì)已經(jīng)生育了一胎夫婦中,進(jìn)行大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得,有100對(duì)第一胎生育的是雙胞胎或多胞胎,其余的均為單胞胎.在這99900對(duì)恰好生育一孩的夫婦中,男方、女方都愿意生育二孩的有50000對(duì),男方愿意生育二孩女方不愿意生育二孩的有對(duì),男方不愿意生育二孩女方愿意生育二孩的有
對(duì),其余情形有
對(duì),且
.現(xiàn)用樣本的頻率來(lái)估計(jì)總體的概率.
(1)說明“其余情形”指何種具體情形,并求出,
,
的值;
(2)該地區(qū)為進(jìn)一步鼓勵(lì)生育二孩,實(shí)行貼補(bǔ)政策:凡第一胎生育了一孩的夫婦一次性貼補(bǔ)5000元,第一胎生育了雙胞胎或多胞胎的夫婦只有一次性貼補(bǔ)15000元.第一胎已經(jīng)生育了一孩再生育了二孩的夫婦一次性再貼補(bǔ)20000元.這種補(bǔ)貼政策直接提高了夫婦生育二孩的積極性:原先男方或女方中只有一方愿意生育二孩的夫婦現(xiàn)在都愿意生育二孩,但原先男方、女方都不愿意生育二孩的夫婦仍然不愿意生育二孩.設(shè)為該地區(qū)的一對(duì)夫婦享受的生育貼補(bǔ),求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)為提升學(xué)生的英語(yǔ)學(xué)習(xí)能力,進(jìn)行了主題分別為“聽”、“說”、“讀”、“寫”四場(chǎng)競(jìng)賽.規(guī)定:每場(chǎng)競(jìng)賽的前三名得分分別為,
,
(
,且
,
,
),選手的最終得分為各場(chǎng)得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每場(chǎng)競(jìng)賽的前三名,在四場(chǎng)競(jìng)賽中,已知甲最終分為
分,乙最終得分為
分,丙最終得分為
分,且乙在“聽”這場(chǎng)競(jìng)賽中獲得了第一名,則“聽”這場(chǎng)競(jìng)賽的第三名是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲和丙都有可能
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