Question

（Ⅰ）試證明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（x，y，a，b∈R）
；（Ⅱ）已知x²+y²=2，且|x|≠|(zhì)y|，求

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式

專題：選作題,不等式

分析：（Ⅰ）利用作差法，即可證明；
（2）令u=x+y，v=x-y，則x=

u+v

2

，y=

u-v

2

，可得u²+v²=4，由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，即可求得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：左邊=a²x²+a²y²+b²x²+b²y²，右邊=a²x²+2abxy+b²y²，
左邊-右邊=a²y²+b²x²-2abxy=（ay-bx）²≥0，…（2分）
∴左邊≥右邊，命題得證．…（3分）
（Ⅱ）解：令u=x+y，v=x-y，則x=

u+v

2

，y=

u-v

2

，
∵x²+y²=2，∴（u+v）²+（u-v）²=8，∴u²+v²=4，…（4分）
由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，…（5分）
當(dāng)且僅當(dāng)u=v=

2

，即x=±

2

，y=0，或x=，0y=±

2

時(shí)…（6分）

1

(x+y)2

+

1

(x-y)2

的最小值是1．…（7分）

點(diǎn)評：本題考查柯西不等式，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．