Question

已知函數(shù)f（x）滿足：①對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②當x∈（1，2]時，f（x）=2-x．若f（a）=f（2012），則滿足條件的最小的正實數(shù)a是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性

專題：

分析：取x∈（2^m，2^m+1），得到

x

2m

∈（1，2]，f（

x

2m

）=2-

x

2m

，從而f（x）=2^m+1-x，根據(jù)f（2012）=f（a）進行化簡，能求出滿足條件的最小的正實數(shù)a的值．

解答： 解：取x∈（2^m，2^m+1），則

x

2m

∈（1，2]；f（

x

2m

）=2-

x

2m

，
從而f（x）=2f（

x

2

）=…=2^mf（

x

2m

）=2^m+1-x，其中，m=0，1，2，…
f（2012）=2¹⁰f（

2012

1024

）=2¹¹-2012=2048-2012=36=f（a）
設(shè)a∈（2^m，2^m+1），則f（a）=2^m+1-a=36
∴a=2^m+1-36∈（2^m，2^m+1）
即m≥6，即a≥92，
∴滿足條件的最小的正實數(shù)a是92．
故答案為：92．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時考查了計算能力，分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．