Question

已知橢圓C的方程式

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

3

3

，且經過點（

6

2

，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）圓O的方程是x²+y²=a²+b²，過圓O上任意一點P作橢圓C的兩條切線，若切線的斜率都存在，分別記為k₁，k₂，求k₁×k₂的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓離心率為

3

3

，且經過點（

6

2

，1），建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），過點P的切線方程為y-y₀=k（x-x₀），代入橢圓方程，直線與橢圓相切，利用△=0，結合韋達定理，即可得出結論．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓離心率為

3

3

，且經過點（

6

2

，1），
∴

a2-b2 a2 = 1 3 3 2a2 + 1 b2 =1

，
∴a=

3

，b=

2

，
∴橢圓C的方程為

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀），過點P的切線方程為y-y₀=k（x-x₀），
代入橢圓方程，可得（2+3k²）x²+6k（y₀-kx₀）x+3（kx₀-y₀）²-6=0，
∵直線與橢圓相切，
∴△=[6k（y₀-kx₀）]²-4（2+3k²）[3（kx₀-y₀）²-6]=0，
∴（3-x₀）k²+2x₀y₀k+2-y₀²=0
∴k₁×k₂=

2-y02

3-x02

，
∵點P在圓O上，
∴x₀²+y₀²=5，即y₀²=5-x₀²，
∴k₁×k₂=

x02-3

3-x0

2=-1．

點評：本題考查橢圓方程與性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．