Question

某廠擬在2014年通過廣告促銷活動推銷產(chǎn)品．經(jīng)調(diào)查測算，產(chǎn)品的年銷售量（假定年產(chǎn)量=年銷售量）x萬件與年廣告費用t（t≥0）萬元滿足關(guān)系式：x=3-

k

t+1

（k為常數(shù)）．若不做廣告，則產(chǎn)品的年銷售量恰好為1萬件．已知2014年生產(chǎn)該產(chǎn)品時，該廠需要先固定投入8萬元，并且預(yù)計生產(chǎn)每1萬件該產(chǎn)品時，需再投入4萬元，每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品所需的年平均成本的1.5倍（每件產(chǎn)品的成本包括固定投入和生產(chǎn)再投入兩部分，不包括廣告促銷費用）．
（Ⅰ）將2014年該廠的年銷售利潤y（萬元）表示為年廣告促銷費用t（萬元）的函數(shù)；
（Ⅱ）2014年廣告促銷費用投入多少萬元時，該廠將獲利最大？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題目中不做廣告，則產(chǎn)品的年銷售量恰好為1萬件，可得當t=0時，x=1，可得k的值，即得x關(guān)于t的解析式；又每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5倍的成本，可得利潤y與促銷費用之間的關(guān)系式；
（Ⅱ）利用基本不等式求最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得當t=0時，x=1即，1=3-k，
∴k=2…（2分）
∴x=3-

2

t+1

∴y=x•

3

2

•

8+4x

x

-8-4x-t=2x-t+4=2(3-

2

t+1

)-t+4=10-(t+

4

t+1

)…（6分）
∴所求的函數(shù)解析式為y=10-(t+

4

t+1

)(t≥0)…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=11-[(t+1)+

4

t+1

]…（8分）
∵t≥0，
∴t+1＞0，
∴y≤11-2

4

=7，當且僅當t+1=

4

t+1

，即t=1時取等號．…（12分）
∴當2014年廣告促銷費用投入1萬元時，該將獲利最大．…（13分）

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了簡單的數(shù)學建模思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．