Question

（Ⅰ）求與x軸相切，圓心在直線3x-y=0上，且被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為2

7

的圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)定點(diǎn)M（-3，4），動(dòng)點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M、ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（I）根據(jù)題意，設(shè)圓心（a，3a），可得半徑r=3|a|，點(diǎn)到直線的距離公式與垂徑定理建立關(guān)于a的方程，解出a的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，由此求出圓的方程．
（II）設(shè)P（x，y）、N（x₀，y₀），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式算出OP、MN中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于x、y和x₀、y₀的式子，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分建立關(guān)系式，解出用x、y表示x₀、y₀的式子，最后將點(diǎn)N坐標(biāo)關(guān)于x、y的式子代入已知條件的圓方程，化簡(jiǎn)即得所求點(diǎn)P的軌跡方程．最后檢驗(yàn)去除雜點(diǎn)，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)圓心為（a，3a），
由圓與x軸相切可得圓的半徑r=3|a|．
∵圓心到直線的距離d=

|a-3a|

2

=

2

a，圓被直線x-y=0截得的弦長(zhǎng)為2

7

，
∴根據(jù)垂徑定理，得r²=d²+（

7

）²，
即9a²=2a²+7，解得a=±1．
由此可得所求圓的圓心為（1，3）或（-1，-3），半徑r=3．
∴圓C的方程為 （x+1）²+（y+3）²=9 或 （x-1）²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），圓上的動(dòng)點(diǎn)N（x₀，y₀），則
線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x

2

，

y

2

），線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（

x0-3

2

，

y0+4

2

），
又∵平行四邊形的對(duì)角線互相平分，
∴

x 2 = x0-3 2 y 2 = y0+4 2

，可得x₀=x+3且y₀=y-4，
∴N坐標(biāo)為（x+3，y-4），
N點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足圓的方程，代入化簡(jiǎn)可得（x+3）²+（y-4）²=4，
直線OM與軌跡相交于兩點(diǎn)（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

），不符合題意，舍去
因此，所求點(diǎn)P的軌跡方程為（x+3）²+（y-4）²=4（點(diǎn)（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）．

點(diǎn)評(píng)：本題求滿(mǎn)足條件的圓與動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程．著重考查了直線的方程、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查了動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程及其應(yīng)用，屬于中檔題．