Question

設(shè)S_n等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a2=

1

9

，S2=

4

9

（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）設(shè)bn=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，由a₂=

1

9

，S₂=

4

9

可求得

a1= 1 3 q= 1 3

，于是可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（2）由b_n=

n

an

=

n

1 3n

=n•3ⁿ，知S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)首項(xiàng)為a₁，公比為q，由a₂=

1

9

，S₂=

4

9

，
得：

a1q= 1 9 a1+a1q= 4 9

，
解得：

a1= 1 3 q= 1 3

，
∴a_n=

1

3n

；．                          
（2）∵b_n=

n

an

=

n

1 3n

=n•3ⁿ，
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，①
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，②
②-①得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ）=n•3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

=

(2n-1)×3n+1

2

+

3

2

，
∴S_n=

(2n-1)×3n+1

4

+

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與錯(cuò)位相減法求和，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．