Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，l是過(guò)定點(diǎn)P（4，2）且傾斜角為α的直線；在極坐標(biāo)系（以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，取相同單位長(zhǎng)度）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ
（Ⅰ）寫(xiě)出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，求|PM|+|PN|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）直線l的參數(shù)方程為

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）．曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ可化為ρ²=4ρcosθ．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C的極坐標(biāo)方程即可得出．
（II）把直線l的參數(shù)方程為

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t²+4（sinα+cosα）t+4=0．由于曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，可得△=16（sinα+cosα）²-16＞0，可得α∈(0，

π

2

)．
利用根與系數(shù)的關(guān)系t₁+t₂=-4（sinα+cosα），t₁t₂=4．及|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4|sinα+cosα|=4

2

sin(α+

π

4

)，即可得出．

解答： 解：（I）直線l的參數(shù)方程為

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）．
曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=4cosθ可化為ρ²=4ρcosθ．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲線C的極坐標(biāo)方程可得x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4．
（II）把直線l的參數(shù)方程為

x=4+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：t²+4（sinα+cosα）t+4=0．
∵曲線C與直線相交于不同的兩點(diǎn)M、N，
∴△=16（sinα+cosα）²-16＞0，
∴sinαcosα＞0，又α∈[0，π），
∴α∈(0，

π

2

)．
又t₁+t₂=-4（sinα+cosα），t₁t₂=4．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=4|sinα+cosα|=4

2

sin(α+

π

4

)，
∵α∈(0，

π

2

)，∴(α+

π

4

)∈(

π

4

，

3π

4

)，
∴sin(α+

π

4

)∈(

2

2

，1]．
∴|PM|+|PN|的取值范圍是(4，4

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，屬于中檔題．