Question

5．觀察下列式子：1+$\frac{1}{2^2}$＜$\frac{3}{2}$，1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$＜$\frac{5}{3}$，1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+$\frac{1}{4^2}$＜$\frac{7}{4}$，…，則可歸納出$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的幾個不等式歸納出左邊、右邊的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律可歸納出第n個不等式．

解答 解：由題意知，：1+$\frac{1}{2^2}$＜$\frac{3}{2}$，1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$＜$\frac{5}{3}$，1+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{3^2}$+$\frac{1}{4^2}$＜$\frac{7}{4}$，…，
觀察可得：每個不等式的左邊是正整數(shù)的倒數(shù)之和，且最后一項的分母是項數(shù)加1，
右邊是分?jǐn)?shù)，且分母是項數(shù)加1、分子是以3為首項、2 為公差的等差數(shù)列，
∴可歸納出第n個不等式：$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$（n∈N^*），
故答案為：$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}＜\frac{2n+1}{n+1}$（n∈N^*）．

點評 本題考查歸納推理，難點是根據(jù)能夠找出數(shù)之間的內(nèi)在規(guī)律，考查觀察、分析、歸納的能力，是基礎(chǔ)題．