Question

4．已知函數(shù)f（x）=aln x+1（a＞0）．
（1）求函數(shù)φ（x）=f（x）-a（1-$\frac{1}{x}$）單調(diào)區(qū)間；
（2）在區(qū)間（1，e）上f（x）＞x恒成立，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)φ（x）的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a＞$\frac{x-1}{lnx}$，令g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$（1＜x＜e），通過討論g（x）的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）由φ（x）=f（x）-a（1-$\frac{1}{x}$）=alnx+1+$\frac{a}{x}$-a，（x＞0），知φ′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{x2}$．…（2分）
由φ′（x）≥0，得x≥1，由φ′（x）≤0，得0＜x≤1，
又a＞0，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞）；遞減區(qū)間為（0，1]．…（4分）
（2）由f（x）＞x得aln x+1＞x，即a＞$\frac{x-1}{lnx}$．…（5分）
令g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$（1＜x＜e），則g′（x）=$\frac{lnx-\frac{x-1}{x}}{{（lnx）}^{2}}$．…（6分）
令h（x）=ln x-$\frac{x-1}{x}$（1＜x＜e），…（7分）
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x2}$＞0，故h（x）在定義域上單調(diào)遞增，
所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）
因為h（x）＞0，所以g′（x）＞0，即g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
則g（x）＜g（e）=e-1，即$\frac{x-1}{lnx}$＜e-1，…（11分）
所以a的取值范圍為[e-1，+∞）．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．