Question

1．已知圓C與y軸相切，圓心在直線2x-y=0上，且直線x-y=0被圓C截得的弦長為2$\sqrt{2}$．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知兩定點A（0，1），B（0，-1），P為圓C上的動點，求|PA|²+|PB|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由題意可得r=|a|，2a-b=0，①再由點到直線的距離公式和弦長公式，可得2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{（a-b）^{2}}{2}}$，②，解方程即可得到所求圓的方程；
（2）運用圓的參數(shù)方程，可設(shè)P（2+2cosα，4+2sinα）（0≤α＜2π），結(jié)合三角函數(shù)的化簡和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
由題意可得r=|a|，2a-b=0，①
圓心到直線x-y=0的距離為d=$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$，
即有2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{（a-b）^{2}}{2}}$，②
由①②解得a=2，b=4，r=2或a=-2，b=-4，r=2，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-4）²=4，
或（x+2）²+（y+4）²=4；
（2）由圓（x-2）²+（y-4）²=4，可設(shè)P（2+2cosα，4+2sinα）（0≤α＜2π），
可得|PA|²+|PB|²=（2+2cosα）²+（3+2sinα）²+（2+2cosα）²+（5+2sinα）²
=50+16cosα+32sinα=50+16$\sqrt{5}$sin（α+θ），
當(dāng)sin（α+θ）=1時，取得最大值50+16$\sqrt{5}$；
當(dāng)sin（α+θ）=-1時，取得最大值50-16$\sqrt{5}$．
當(dāng)圓的方程為（x+2）²+（y+4）²=4，同理可得．
即有|PA|²+|PB|²的取值范圍是[50-16$\sqrt{5}$，50+16$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查圓的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查圓的參數(shù)方程的運用，考查運算能力，屬于中檔題．