【題目】設(shè)f(x)= ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)若x∈[1,+∞),f(x)≤m(x﹣1)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解: f(x)= 的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=

則在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為f′(1)= ,

由于在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直,

則f′(1)= ,即 = ,

故a=0;


(2)解:由于f(x)=

當(dāng)x=1時(shí),f(1)=0,m(x﹣1)=0不等式f(x)≤m(x﹣1)成立,

當(dāng)x>1時(shí),f(x)≤m(x﹣1)即為lnx≤m(x﹣ ).

設(shè)g(x)=lnx﹣m(x﹣ ),即x>1時(shí),g(x)≤0恒成立,

g′(x)= ﹣m(1 )=

①若m≤0時(shí),g′(x)>0,則g(x)在x>1上遞增,即有g(shù)(x)>0,矛盾;

②若m>0,﹣mx2+x﹣m=0的判別式△=1﹣4m2

當(dāng)△≤0時(shí),即m≥ ,g′(x)≤0,即g(x)在x>1上遞減,g(x)<g(1)=0成立,

當(dāng)△>0時(shí),即0<m< 時(shí),方程﹣mx2+x﹣m=0的根x1= <1,x2= >1.

當(dāng)1<x<x2時(shí),g′(x)>0,g(x)在x>1上遞增,g(x)>g(1)=0矛盾.

綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍是:[ ,+∞)


【解析】(1)求得函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),利用曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直,即可求a的值;(2)先將原來(lái)的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為lnx≤m(x﹣ ).設(shè)g(x)=lnx﹣m(x﹣ ),即x>1時(shí),g(x)≤0恒成立,利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)在(1,+∞)上單調(diào)性,求出函數(shù)g(x)的范圍,即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí),掌握求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.

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