Question

已知變量x，y滿足約束條件

x-2y+1≤0 2x-y≥0 x≤1

，則z=

x+1

y+1

的最大值為a，最小值為b，則a-b的值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  3

• C、

  1

  3

• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由約束條件作出可行域，由z=

x+1

y+1

的幾何意義可知當(dāng)（x，y）為可行域內(nèi)A的坐標(biāo)時(shí)，z=

x+1

y+1

有最大值，當(dāng)（x，y）為可行域內(nèi)B的坐標(biāo)時(shí)，z=

x+1

y+1

有最小值，則答案可求．

解答： 解：由約束條件

x-2y+1≤0 2x-y≥0 x≤1

作可行域如圖，

∵z=

x+1

y+1

=

x-(-1)

y-(-1)

，
其幾何意義是可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P（-1，-1）連線斜率的倒數(shù)．
由圖可知，當(dāng)可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)為A時(shí)，k_PA最小，其倒數(shù)最大．
聯(lián)立

x=1 x-2y+1=0

，解得A（1，1）．
∴a=

1+1

1+1

=1；
當(dāng)可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)為B時(shí)，k_PB最大，其倒數(shù)最小．
聯(lián)立

x=1 2x-y=0

，解得B（1，2）．
∴b=

1+1

2+1

=

2

3

．
∴a-b=

1

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃問題，近年來線性規(guī)劃問題是高考數(shù)學(xué)考試的熱點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)思想的重要手段之一，是連接代數(shù)和幾何的重要方法．隨著要求數(shù)學(xué)知識(shí)從書本到實(shí)際生活的呼聲不斷升高，線性規(guī)劃這一類新型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題要引起重視，是中檔題．