Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x-φ）（0＜φ＜

π

2

）的圖象過(guò)點(diǎn)（

π

3

，

3

2

）．
（1）求φ的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，將點(diǎn)（

π

3

，

3

2

）代入函數(shù)解析式，然后，結(jié)合φ的取值求解即可；
（2）先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sinxcos（x-φ）的圖象過(guò)點(diǎn)（

π

3

，

3

2

），
∴2sin

π

3

cos（

π

3

-φ）=

3

2

，∴cos（

π

3

-φ）=

3

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴-

π

6

＜

π

3

-φ＜

π

3

，
∴

π

3

-φ=

π

6

，∴φ=

π

6

（2）f（x）=2sinxcos（x-

π

6

）
=2sinx（cosxcos

π

6

+sinxsin

π

6

）
=

3

2

sin2x+

1

2

（1-cos2x）
=sin（2x-

π

6

）+

1

2

．
∵2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，
∴kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，兩角和與差的三角函數(shù)等知識(shí)，屬于中檔題．